Теоремы о последовательности вложенных и стягивающихся отрезков (Принцип Кантора).

Если $\{[a_{n}, b_{n}]\}_{n=1}^\infty$ - вложенная $\Rightarrow \exists{c \in \mathbb{R}}~~ \forall{n \in \mathbb{N}}~~ c \in [a_{n},b_{n}]$. Если $\{[a_{n}, b_{n}]\}_{n=1}^\infty$ - вложенная и стягивающаяся, то $\exists{!c}$

Существование: Пусть $A = \{a_{n}\}, B = \{b_{n}\}$ (концы отрезков), тогда $a_{n} \leq a_{n+m} \leq b_{n+m} \leq b_{m}$, а значит $\forall{a_{n} \in A, b_{m} \in B}~~ a_{n} \leq b_{m}$. Пусть $m=n$, тогда $\forall{a_{n} \in A, b_{n} \in B}~~ a_{n} \leq b_{n} \Rightarrow \exists{c \in \mathbb{R}}~~ \forall{n \in \mathbb{N}}~~ c \in [a_{n}, b_{n}]$ Единственность: От противного: пусть, кроме $c$, существует $c_{1} \in [a_{n}, b_{n}] \forall{n \in \mathbb{N}}$. Тогда $\forall{n \in \mathbb{N}}~~ |c - c_{1}| \leq b_{n} - a_{n}$. При этом: $\forall{\epsilon > 0}~~ \exists{N(\epsilon)}~~ \forall{n > N}~~ b_{n}-a_{n} < \epsilon$. Пусть $\epsilon = \dfrac{1}{2}|c - c_{1}|$, тогда: $|c-c_{1}| \leq b_{n} - a_{n} < \dfrac{1}{2}|c-c_{1}|$, противоречие. $\square$